Функция и ее график и свойства и противопоказания
Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.
Обозначение:
y = f(x),
где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))
Способы задания функции.
- аналитический способ (с помощью математической формулы);
- табличный способ (с помощью таблицы);
- описательный способ (с помощью словесного описания);
- графический способ (с помощью графика).
Основные свойства функции.
1. Четность и нечетность
Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)
График четной функции симметричен относительно оси 0y
Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2.Периодичность
Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).
График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.
3. Монотонность (возрастание, убывание)
Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1)2).
Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x12 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).
4. Экстремумы
Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).
Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.
Хmax – точка максимума
Уmax – максимум
Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).
Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.
Xmin – точка минимума
Ymin – минимум
Xmin, Хmax – точки экстремума
Ymin, Уmax – экстремумы.
5. Нули функции
Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.
Х1,Х2,Х3 – нули функции y = f(x).
Задачи и тесты по теме «Основные свойства функции»
Рекомендации к теме
Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность. Рассмотрим решение подобных задач на следующих примерах.
Примеры.
1. Найти область определения функции.
a)
Решение: область определения функции находится из условия
Ответ:
б)
Решение: область определения функции находится из условий
Ответ:
2. Исследовать на четность и нечетность функцию:
a)
Решение:
| 1) |
— симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция f(x) – четная.
Ответ: четная.
в)
1)
D(f) = [-1; 1] – симметрична относительно нуля.
| 2) |
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни не четная.
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Определение
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у — зависимая переменная, значение функции
Определение
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Определение
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Определение
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Определение
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили 
- Четность / нечетность функции
D(y)= 
— симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
- Нули функции
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение 
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
- Промежутки знакопостоянства
у>0 при 
у<0 при 
- Монотонность
Найдем производную
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.
Определим знаки производной в полученных промежутках.
точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена
Производная положительна, а значит, функция возрастает при 
.
Производная отрицательна, а значит, функция убывает при 
- Экстремум
х=0 – стационарная точка.
В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.
Значение функции в точке максимума
- Дополнительные точки
у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4
- Отразим найденные свойства графически, построим график функции
2. Решение задачи на оптимизацию
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.
В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:
1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:
- вводят независимую переменную х
- выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
- выражают у через х и другие известные величины
- устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х
2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.
3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.
Рассмотрим план решения на примере задачи.
Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 — x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
2 этап.
Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
Функции |
у=0 |
у=sin(x+5π/2) |
у=lg(x+10) |
|
Решение:
- у=0
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
- у=sin(x+5π/2)
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
- у=lg(x+10)
логарифмируемое выражение должно быть положительным
x+10>0; x>-10
D(y): x>-10
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
Ответ:
Функции | Четность / нечетность |
у=0 | и четная, и нечетная |
у=sin(x+5π/2) | четная |
у=lg(x+10) | общего вида |
| нечетная |
2. 
Решение:
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7
Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим: 
Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.
Выполним построения выделенных функций.
Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.
Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.
Ответ: 
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ — ãðàôèê ëèíåéíîé ôóíêöèè y = ax + b. Ôóíêöèÿ y ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè a > 0 è óáûâàåò ïðè a < 0. Ïðè b = 0 ïðÿìàÿ ëèíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò ò. 0 (y = ax — ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü) | |
Ïàðàáîëà — ãðàôèê ôóíêöèè êâàäðàòíîãî òð¸õ÷ëåíà ó = àõ2 + bõ + ñ. Èìååò âåðòèêàëüíóþ îñü ñèììåòðèè. Åñëè à > 0, èìååò ìèíèìóì, åñëè à < 0 — ìàêñèìóì. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ (åñëè îíè åñòü) ñ îñüþ àáñöèññ — êîðíè ñîîòâåòñòâóþùåãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ax2 + bx +ñ =0 | |
Ãèïåðáîëà — ãðàôèê ôóíêöèè . Ïðè à > Î ðàñïîëîæåíà â I è III ÷åòâåðòÿõ, ïðè à < 0 — âî II è IV. Àñèìïòîòû — îñè êîîðäèíàò. Îñü ñèììåòðèè — ïðÿìàÿ ó = õ(à > 0) èëè ó — — õ(à < 0). | |
Ýêñïîíåíòà (ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïî îñíîâàíèþ å) ó = åx. (Äðóãîå íàïèñàíèå ó = åõð(õ)). Àñèìïòîòà — îñü àáñöèññ. | |
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = logax (a > 0) | |
ó = sinx. Ñèíóñîèäà — ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì Ò = 2π | |
ó = à•sin(ωx+φ) — ôóíêöèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Îáîçíà÷åíèÿ: à — àìïëèòóäà, ω — ÷àñòîòà (ω = 2π/Ò), φ — ôàçà (ñäâèã). | |
Êîñèíóñîèäà ó = cosx (ãðàôèêè ó = sinx è ó = cosx ñäâèíóòû ïî îñè õ íà ) | |
Òàíãåíñîèäà y = tgx. Òî÷êè ðàçðûâà ïðè õ = (2k -1), ãäå k = 0, ±1, ±2,.. Âåðòèêàëüíûå àñèìïòîòû â ýòèõ òî÷êàõ. | |
Ãàóññèàíà ó = Àe-(ax2). Êðèâàÿ «íîðìàëüíîãî» çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ îøèáîê, ó êîòîðîãî , , σ 2 — äèñïåðñèÿ îøèáêè. Ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî îñè ó. | |
ó = secx — êðèâàÿ «öåïíîé ëèíèè», ýòó ôîðìó ïðèíèìàåò àáñîëþòíî ãèáêàÿ íèòü, ïîäâåøåííàÿ â ïàðàëëåëüíîì ïîëå òÿæåñòè. À ïîëíàÿ ôóíêöèÿ ïåðèîäè÷íà, è å¸ àñèìïòîòû õ = (2k -1), êàê ó ôóíêöèè y = tgx. | |
Çàòóõàþùåå êîëåáàíèå y = Ae-ax•sin(ωx+φ) | |
| Êâàäðàòíûé êîðåíü — ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ è ÷àñòíûé ñëó÷àé ñòåïåííîé ôóíêöèè Êàê ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî êîðåíü — äâóçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, ëèñòû êîòîðîé ñîåäèíÿþòñÿ â íóëå. |
| Êóáè÷åñêèé êîðåíü — íå÷¸òíàÿ ôóíêöèÿ. |
Ôóíêöèÿ ìîäóëü ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ìîäóëü â òî÷êå x=0 íå ñóùåñòâóåò. Ãðàôèê ôóíêöèè ìîäóëü ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò. | |
| Ôóíêöèÿ arcsin y = arcsin x. |
| Ôóíêöèÿ arccos y = arccos x. |
| Ôóíêöèÿ arctg y = arctg x. |
| Ôóíêöèÿ arcctg y = arcctg x. |
ñ 
. Àðèôìåòè÷åñêèé êâàäðàòíûé êîðåíü ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì ïðè 
, â íóëå æå îí íåïðåðûâåí ñïðàâà, íî íå äèôôåðåíöèðóåì.
Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû: êîðíè, äðîáè, ñòåïåíè, óðàâíåíèÿ, ôèãóðû, ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ è äðóãèå êàëüêóëÿòîðû. | |
| Ìàòåìàòè÷åñêèå êàëüêóëÿòîðû | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
| Ðåøåíèÿ, ïîäñêàçêè è ó÷åáíèê ëèíåéíîé àëãåáðû îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî àëãåáðå | |
Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ìàòåìàòèêè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ìàòåìàòèêà 4,5,6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
10 класс
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенной называется функция, заданная формулой где , p– некоторое действительное число.
I. Показатель — чётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если :
3) ). Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.
4) Если , то функция убывает при х (- ; 0] и возрастает при х [0; + ).
Если , то функция возрастает при х (- ; 0] и убывает при х [0; + ).
Графиком степенной функции с чётным натуральным показателем является парабола п-ой степени, симметричная относительно оси ординат, с вершиной в начале координат (в точке ), ветви которой направлены вверх, если , и вниз, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
II. Показатель — нечётное натуральное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=(−; +).
2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е(y) = (−; +).
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
4) Если , функция возрастает при х (- ; +).
Если , функция убывает при х (- ; +).
Графиком степенной функции с нечётным натуральным показателем является парабола п-ой степенис вершиной в начале координат (точке (0;0)), симметричная относительно начала координат, ветви которой расположены в I и III четвертях, если ; и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
III. Показатель — чётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции: .
2) Область значений функции — множество всех положительных чисел, если : Е(y) =(0; +);
множество всех отрицательных чисел, если : Е(y) =(-; 0).
3) Значит, функция является чётной, её график симметричен относительно оси Оу.
4) Если , функция возрастает при х (- ; 0), убывает при х (0; + ).
Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).
Графиком степенной функции является гипербола п-ой степени, симметричная относительно оси Оу, не пересекающая оси координат и её ветви расположены в I и II четвертях, если , и в III и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
IV. Показатель — нечётное целое отрицательное число. Тогда степенная функция где n – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Область определения функции:
2) Область значений функции:
3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.
4) Если , функция убывает при х .
Если , функция возрастает при х .
Графиком степенной функции является гипербола п-ой степени, симметричная относительно начала координат, не пересекающая оси координат и его ветви расположены в I и III четвертях, если , и во II и IV четвертях, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием. 
V. Показатель – положительная правильная дробь . Тогда степенная функциягде m– целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции — множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если , функция возрастает при х ;
Если , функция убывает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VI. Показатель – положительная неправильная дробь . Тогда степенная функциягде m– целое положительное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции — множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если , функция возрастает при х ;
Если , функция убывает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VII. Показатель – отрицательная правильная дробь . Тогда степенная функциягде m– целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции — множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если , функция убывает при х ;
Если функция возрастает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
VIII. Показатель – отрицательная неправильная дробь . Тогда степенная функциягде m– целое отрицательное число, n > 1 – натуральное число, обладает следующими свойствами:
1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:
2) Область значений функции — множество неотрицательных чисел, если :
множество неположительных чисел, если : .
3) Функция неявляется ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.
4) Если функция убывает при х ;
Если функция возрастает при х .
График степенной функции расположен в I четверти, если , и в IV четверти, если . График этой функции получается из графика функции растяжением вдоль оси Оу в а раз, если a > 1; и сжатием к оси Ох в а раз, если 0 < a < 1.
На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.
9