Группы основные свойства и противопоказания

КАТЕГОРИИ:

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение 4. Алгебра G=<A, {*,-1}> типа <2,1> называется группой, если ее операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1) (x*y)*z=x*(y*z) (ассоциативность);

2) (у-1*у)*х=х=х*(у*у-1) (существование обратного элемента).

Операция * обычно называется умножением. Если она коммутативна, то иногда ее называют сложением. Могут использоваться и специальные названия, отвечающие ее содержанию. Обычно символ операции * опускают и записывают вместо а*b просто ab. Далее это будет использоваться.

Из определения 4 сразу следует, что в группе существует, и притом единственный, элемент, являющийся единичным (единицей группы). Действительно, из аксиомы 2 следует (у-1*у)*х=х, т.е. (у-1у)=е — единичный элемент. Если предположить, что существует еще один единичный элемент е’, то получим е=ее’=е’.

Пример 4. Рассмотрим полугруппу из примера 1. Введем в этой системе тождественное отображение е:A®A, такое, что е(а)=а для любого аÎA. Очевидно, что это отображение относительно операции композиции отображений играет роль единичного элемента. Множество ФА всех биективных отображений произвольного множества Ана себя замкнуто относительно операции композиции и тождественное отображение входит в него. Далее, для каждого биективного отображения jÎФА существует и притом единственное отображение j-1, которое является обратным по отношению к j, т.е. j-1j=jj-1 .

Таким образом, полугруппа <ФА,{*}> всех биективных отображений j:A®A, является группой, если в нее ввести дополнительно операцию -1, так как в ФА существует единичный элемент и каждый элемент jÎФА имеет обратный j-1.

Группа всех отображений непустого множества А всебя называется симметрической группой. Эта группа имеет большое значение в теории групп.

Пример 5. Пусть А={1,2,3} — трехэлементное множество. Рассмотрим симметрическую группу всех биективных отображений множества Ав себя (см. пример 4). Эта группа называется группой подстановок s3. Перечислим все возможные отображения такого вида, записывая их, как это принято в алгебре, в виде двух строк, первая из которых относится к аргументам, а вторая — к образам отображений:

Число различных подстановок в s, равно 3! (числу всех перестановок множества из трех элементов), так что Р0-Р5 исчерпывает все возможные биективные отображения j:A®A.

Композиция (произведение) подстановок определяется по следующему, очевидному из примера, правилу:

Очевидно, что роль единичного элемента в множестве подстановок играет тождественная подстановка Р0.

Для всех подстановок s3 имеет место таблица произведений (табл. 2.), в чем можно убедиться самостоятельно.

На основании табл.2. можно легко найти для любого элемента Pi обратный ему. Очевидно, таковым является элемент, который при умножении на Рi дает тождественную подстановку P0. Перечислим обратные элементы для каждой из подстановок:

P0-1=P0; P1-1=P1; P2-1=P2;

P3-1=P4; P4-1=P3; P5-1=P5;

Таким образом, все элементы, кроме Р3, Р4 являются обратными сами себе.

Таблица 2.

Первый множитель	Второй множитель
Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
Р0	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
Р1	Р1	Р1	Р3	Р2	Р5	Р4
Р2	Р2	Р4	Р0	Р5	Р1	Р3
Р3	Р3	Р5	Р1	Р4	Р0	Р2
Р4	Р4	Р2	Р5	Р0	Р3	Р1
Р5	Р5	Р3	Р4	Р1	Р2	Р0

Итак, в множестве подставок s3 удовлетворены все аксиомы групп, поэтому s3=<{Рi},{*,-1}> является группой относительно операции композиции (произведения).

Определение 5. Подмножество Н группы G называется подгруппой, если оно замкнуто относительно групповой операции (непусто и вместе с любыми двумя элементами а,bÎН содержит ab), а также вместе с любым аÎН содержит и обратный ему элемент а-1.

Из определения вытекает, что любая подгруппа содержит единичный элемент подгруппы, так как из замкнутости групповой операции следует, что а-1а=aа-1=e. т.е. еÎН.

Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 420; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Рекомендуемые страницы:

Элементы IA группы

В IA группу (главная подгруппа первой группы) таблицы Менделеева входят металлы — литий Li, натрий Na, калий К, рубидий Rb, цезий Cs и франций Fr. Традиционно, данные элементы называют щелочными металлами (ЩМ), так как их простые вещества образуют при взаимодействии с водой едкие щелочи. Последний из известных представителей группы щелочных металлов (Fr) является радиоактивным элементом, в связи с чем его химические свойства изучены недостаточно: период полураспада его наиболее долгоживущего изотопа 223Fr составляет всего лишь около 22 мин.

Электронные формулы, а также некоторые свойства щелочных металлов представлены в таблице ниже:

Свойство	Li	Na	К	Rb	Cs	Fr
Заряд ядра Z	3	11	19	37	55	87
Электронная конфигурация в основном состоянии	[He]2s1	[Ne]3s1	[Аr]4s1	[Kr]5s1	[Хе]6s1	[Rn]7s1
Металлический радиус rмет, нм	0,152	0,186	0,227	0,248	0,265	0,270
Ионный радиус rион*, нм	0,074	0,102	0,138	0,149	0,170	0,180
Радиус гидратированного иона,rион , нм	0,340	0,276	0,232	0,228	0,228	—
Энергия ионизации, кДж/моль: I1 I2	520,2 7298	495,8 4562	418,8 3052	403,0 2633	375,7 2234	(380) (2100)
Электроотрицательность	0,98	0,93	0,82	0,82	0,79	0,70

При движении вниз по IA группе возрастает радиус атомов металлов (rмет), что, собственно, характерно для любых элементов всех главных подгрупп. Относительно малое увеличение радиуса при переходе от K к Rb и далее к Cs обусловлено заполнением 3d- и 4d-подуровней соответственно.

Ионные радиусы ЩМ существенно меньше металлических, что связано с потерей единственного валентного электрона. Они также закономерно возрастают от Li+ к Cs+. Размеры же гидратированных катионов изменяются в противоположном направлении, что объясняется в рамках простейшей электростатической модели. Наименьший по размеру ион Li+ лучше катионов остальных щелочных металлов притягивает к себе полярные молекулы воды, образуя наиболее толстую гидратную оболочку. Исследования показали, что в водном растворе катион лития Li+ окружен 26 молекулами воды, из которых только 4 находятся в непосредственном контакте с ионом лития (первой координационной сфере). По этой причине многие соли лития, например, хлорид, перхлорат и сульфат, а также гидроксид выделяются из водных растворов в виде кристаллогидратов. Хлорид LiCl·Н2O теряет воду при температуре 95 °С, LiOH·Н2O — при 110°С, а LiClO4·Н2O — только при температуре выше 150°С. С увеличением ионного радиуса катиона щелочного металла сила его электростатического взаимодействия с молекулами воды ослабевает, что приводит к снижению толщины гидратной оболочки и, как следствие, радиуса гидратированного иона [М(Н2O)n] (где n = 17, 11, 10, 10 для М+ = Na+, К+, Rb+, Cs+ соответственно).

Внешний энергетический уровень атома ЩМ содержит один единственный электрон, который слабо связан с ядром, о чем говорят низкие значения энергии ионизации I1. Атомы щелочных металлов легко ионизируются с образованием катионов М+, входящих в состав практически всех химических соединений этих элементов. Значения I2 для всех щелочных металлов настолько высоки, что в реально осуществимых условиях ион М2+ не образуется. Электроотрицательность щелочных элементов мала, их соединения с наиболее электроотрицательными элементами (хлор, кислород, азот)имеют ионное строение, как минимум в кристаллическом состоянии.

Маленький радиус иона Li+ и высокая плотность заряда, являются причиной того, что соединения лития оказываются схожими по свойствам аналогичным соединениям магния (диагональное сходство) и в то же время отличаются от соединений остальных ЩМ.

Элементы IIA группы

В IIA группу Периодической системы элементов входят бериллий Ве, магний Мg и четыре щелочноземельных металла (ЩЗМ): кальций Са, стронций Sr, барий Ва и радий Ra, оксиды которых, раньше называемые «землями», при взаимодействии с водой образуют щелочи. Радий — радиоактивный элемент (α-распад, период полураспада примерно 1600 лет).

Электронная конфигурация и некоторые свойства элементов второй группы приведены в таблице ниже.

По электронному строению атомов элементы второй группы близки щелочным металлам. Они имеют конфигурацию благородного газа, дополненную

Свойство	Be	Mg	Ca	Sr	Ba	Ra
Заряд ядра Z	4	12	20	38	56	88
Электронная конфигурация в основном состоянии	[He]2s2	[Ne]3s2	[Ar]4s2	[Kr]5s2	[Xe]6s2	[Rn]7s2
Металлический радиус rмет, нм	0,112	0,160	0,197	0,215	0,217	0,223
Ионный радиус rион*, нм	0,027	0,72	0,100	0,126	0,142	0,148
Энергия ионизации, кДж/моль: I1 I2 I3	899,5 1757 14850	737,7 1451 7733	589,8 1145 4912	549,5 1064 4138	502,8 965 3619	509,3 979 3300
Электроотрицательность	1,57	1,31	1,00	0,95	0,89	0,90

двумя s-электронами на внешнем уровне. В то же время от элементов первой группы они отличаются более высокими значениями энергии ионизации, убывающими в ряду Ве—Мg—Са—Sr— Ва. Эта тенденция нарушается при переходе от бария к радию: повышениe П и І, для Rа по сравнению с Ва объясняется эффектом инертной 6s2-пары.

Следует отметить, что в то время как для щелочных металлов характерна значительная разница между I1 и I2 для элементов второй группы подобный скачок наблюдается между I2 и I3. Именно поэтому щелочные металлы в сложных веществах проявляют только степень окисления +1, а элементы второй группы +2. Наличие единственной положительной степени окисления и невозможность восстановления ионов M2+ в водной среде придает большое сходство всем металлам s-блока.

Изменение свойств по группе следует общим закономерностям, рассмотренным на примере щелочных металлов. Элемент второго периода бериллий, подобно элементу первой группы литию, значительно отличается по своим свойствам от других элементов второй группы. Так, ион Be2+ благодаря чрезвычайно малому ионному радиусу (0,027 нм), высокой плотности заряда, большим значениям энергий атомизации и ионизации оказывается устойчивым лишь в газовой фазе при высоких температурах. Поэтому химическая связь в бинарных соединениях бериллия даже с наиболее электроотрицательными элементами (кислород, фтором) обладает высокой долей ковалентности. Химия водных растворов бериллия также имеет свою специфику: в первой координационной сфере бериллия могут находиться лишь четыре лиганда ([Be(H2O)4]2+, (Bе(OH)4]—), что связано с малым ионным радиусом металла и отсутствием d-орбиталей.

Щелочноземельные металлы (Са, Sr, Ва, Ra) образуют единое семейство элементов, в пределах которого некоторые свойства (энергия гидратации, растворимость и термическая устойчивость солей) меняются монотонно с увеличением ионного радиуса, а многие их соединения являются изоморфными.

Элементы IIIA группы

Элементы IIIA группы: бор В, алюминий Al, галлий Ga, индий In и таллий Tl — имеют мало стабильных изотопов, что характерно для атомов с нечетными порядковыми номерами. Электронная конфигурация внешнего энергетического уровня в основном состоянии ns2nр1 характеризуется наличием одного неспаренного электрона. В возбужденном состоянии элементы IIIA группы содержат три неспаренных электрона, которые, находясь в sp2-гибридизации, принимают участие в образовании трех ковалентных связей. При этом у атомов остается одна незанятая орбиталь. Поэтому многие ковалентные соединения элементов IIIA группы являются акцепторами электронной пары (кислоты Льюиса), т.е. могут образовывать четвертую ковалентную связь по донорно-акцепторному механизму, создавая которую, они изменяют геометрию своего окружения — она из плоской становится тетраэдрической (состояние sp3-гибридизации). Бор сильно отличается по свойствам от других элементов IIIA группы. Он является единственным неметаллом, химически инертен и образует ковалентные связи со фтором, азотом, углеродом и т.д. Химия бора более близка химии кремния, в этом проявляется Диагональное сходство. У атомов алюминия и его тяжелых аналогов появляются вакантные d-орбитали, возрастает радиус атома. Галлий, индий и таллий расположены в Периодической системе сразу за металлами d-блока, поэтому их часто называют постпереходными элементами. Заполнение d-оболочки сопровождается последовательным сжатием атомов, в 3d-pяду оно оказывается настолько сильным, что нивелирует возрастание радиуса при появлении четвертого энергетического уровня. В результате d-сжатия ионные радиусы алюминия и галлия близки, а атомный радиус галлия даже меньше, чем алюминия.

Для таллия, свинца, висмута и полония наиболее устойчивы соединения со степенью окисления +1, +2, +3, +4 соответственно.

Свойство	B	Al	Ga	In	Tl
Заряд ядра Z	5	13	31	49	81
Электронная конфигурация в основном состоянии	[He]2s22p1	[Ne]3s23p1	[Ar]3d104s24p1	[Kr]4d105s25p1	[Xe]4f145d106s26p1
Атомный радиус, нм	0,083	0,143	0,122	0,163	0,170
Энергия ионизации, кДж/моль: I1 I2 I3	801 2427 3660	577 1817 2745	579 1979 2963	558 1821 2704	589 1971 2878
Электроотрицательность	2,04	1,61	1,81	1,78	2,04

Для соединений элементов IIIA группы наиболее характерна степень окисления +3. В ряду бор-алюминий-галлий-индий-таллий устойчивость таких соединений уменьшается, а устойчивость соединений со степенью окисления +1, напротив, увеличивается. Энергия связи М—Hal в галогенидах последних при переходе от легких к более тяжелым элементам М уменьшаются, амфотерные свойства оксидов и гидроксидов смещаются в сторону большей основности, склонность катионов к гидролизу (взаимодействию с водой) ослабевает.

Химия индия и особенно галлия вообще очень близка химии алюминия. Соединения этих металлов в низших степенях окисления (Ga2O, Ga2S, InCl и др.) в водных растворах диспропорционируют. Для таллия состояние +1, напротив, является наиболее устойчивым из-за инертности электронной пары 6s2.

Источник

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе.
Иначе говоря, если — группа, то характер — это гомоморфизм из в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в . Все прочие гомоморфизмы в называются в таком случае квазихарактерами.

Связанные определения[править | править код]

Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в

Характер представления группы — близкое определение для представлений групп, элемент отображается в след своего представления.

Свойства[править | править код]

Характеры в U(1)[править | править код]

Важным частным случаем характеров являются отображения в группу комплексных чисел, равных по модулю единице. Такие характеры имеют вид , где , и широко изучаются[1][2][3][4] в теории чисел в связи с распределением простых чисел в бесконечных арифметических прогрессиях. В этом случае изучаемой группой является кольцо вычетов с операцией сложения, а функция линейна. При этом множество различных значений линейного коэффициента в функции определяет группу характеров, изоморфную группе .

Классическим примером использования характеров по модулю является теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.

Для бесконечных циклических групп, изоморфных , будет существовать бесконечное множество характеров вида , где .

Характеры конечнопорождённых групп[править | править код]

Для произвольной конечнопорождённой абелевой группы также можно[5] явно и конструктивно описать множество характеров в . Для этого используется теорема о разложении такой группы в прямое произведение циклических групп.

Поскольку любая циклическая группа порядка изоморфна группе и её характеры в всегда отображаются во множество , то для группы, представленной прямым произведением , циклических групп , можно параметризовать характер как произведение характеров циклических этих циклических групп:

Это позволяет провести явный изоморфизм между самой группой и группой её характеров, равной ей по количеству элементов.

Свойства характеров конечных групп[править | править код]

Для обозначим через характер, соответствующий элементу по описанной выше схеме.

Справедливы[6] следующие тождества:

Вариации и обобщения[править | править код]

Если — ассоциативная алгебра над полем , характер — это ненулевой гомоморфизм алгебры в . Если при этом — звёздная алгебра,[уточнить] то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

См. также[править | править код]

Двойственность Понтрягина

Примечания[править | править код]

↑ А. О. Гельфонд, Ю. В. Линник, Элементарные методы в аналитической теории чисел, М:Физматгиз, 1962 г., с. 61-66, 78-97
↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 142-165
↑ Г. Дэвенпорт, Мультипликативная теория чисел, М:Наука, 1971 г., с. 44-64
↑ А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, М:Наука, 1983 г., с. 114-157
↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 145-147
↑ К. Чандрасекхаран, Введение в аналитическую теорию чисел, М:Мир, 1974 г., с. 147-159

Литература[править | править код]

Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
Наймарк М. А. Теория представления групп. — М., 1978. — 560 с.

Источник