Логарифм это свойства и противопоказания
Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.
Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.
В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.
Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Зачем логарифмам специальные обозначения
- Основные свойства логарифмов — все формулы в одном месте
- 10 примеров логарифмов с решением
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.
и преобразовываем в
Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Приведем пример:
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Еще примеры:
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Основные свойства логарифмов
Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:
Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!
Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.
Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.
Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:
loga a = 1 – это логарифмическая единица.
Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a0 = 1:
loga 1 = 0 – логарифмический ноль.
Основное логарифмическое тождество
В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.
Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма
Разберем применение тождества на примере:
Необходимо найти значение выражения
Сначала преобразуем логарифм
Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:
Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:
Сумма логарифмов. Разница логарифмов
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!
Вынесение показателя степени из логарифма
Вынесение показателя степени из логарифма:
Переход к новому основанию
Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.
Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Разберем на примере.
Необходимо найти значение такого выражения
Для начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:
Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
10 примеров логарифмов с решением
1. Найти значение выражения
2. Найти значение выражения
3. Найти значение выражения
4. Найти значение выражения
5. Найти значение выражения
6. Найти значение выражения
Сначала найдем значение
Для этого приравняем его к Х:
Тогда изначальное выражение принимает вид:
7. Найти значение выражения
Преобразуем наше выражение:
Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 
8. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:
9. Найти значение выражения
Так как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
4 + 3 = 7
10. Найти значение выражения
Обращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:
Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Зачем в жизни нужны логарифмы?
Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.
Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!
Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!
То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.
Круто, да?
Как научиться решать логарифмы?
Логарифмы – ОЧЕНЬ ПРОСТАЯ ТЕМА!
Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется,понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).
Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).
Все. Больше ничего не нужно.
Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
Что такое логарифм?
Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.
Начнем с простого. Как решить уравнение ?
Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА! Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ).
Следующий вопрос. Как решить уравнение ?
Опять просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число , чтобы получить число ? Попытаемся подобрать: два во второй степени равно четыре – мало, два в третьей степени равно восемь – много. Метод подбора сразу ответ не дает… Да и вообще, в этом случае подобрать решение не получится – ведь это не только нецелое число, это число даже не рациональное. Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так:
То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .
Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается, оно еще и не кончается…
Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?
В нашем случае решение уравнения можно записать как или как .
Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».
Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.
Выражение можно также записать в виде . Читается так: «Логарифм восьми по основанию два равен трем» или «Логарифм по основанию два от восьми равен трем».
Теперь более общая запись:
Читается так: «Логарифм по основанию от равен », и означает: «Чтобы получить число , нужно число возвести в степень »:
Иными словами, – это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Примеры вычисления логарифмов
- , так как число нужно возвести во вторую степень, чтобы получить .
- Чему равен ? Заметим, что , тогда , то есть нужно возвести в степень , чтобы получить .
- А чему равен ? Обращать внимание нужно, в первую очередь, на основание. Возможно ли представить как в какой-то степени? Да, возможно: запишем это число в виде обычной дроби: . Значит, .
- Еще пример. Чему равен ? В какую степень надо возвести , чтобы получить ? Вспоминаем, что любое число в нулевой степени равно (подробнее читай в разделе «Степень и ее свойства»). Значит, . Более того, логарифм с любым основанием от единицы равен .
- . В этом случае аргумент равен корню основания: . Но мы помним, что корень тоже можно представить в виде степени (с дробным показателем): .
Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:
Ответы:
Десятичные логарифмы
Логарифм по основанию называется десятичным логарифмом и записывается упрощенно: вместо , например:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Когда нужная степень не подбирается
Как я уже говорил, далеко не всегда удается подобрать такую степень. Но это не значит, что такого числа не существует, просто его можно вычислить только на калькуляторе.
Например, . Видим, что это число расположено между и , и это понятно: ведь это значит, чтобы получить , нужно возводить в степень больше , но меньше .
На ЕГЭ пользоваться калькулятором нельзя, но даже если бы было можно, нельзя записывать приближенные вычисления. Поэтому, если перед нами задача первой части, ответ обязательно должен получиться «хороший», и его можно посчитать в уме. В письменной части могут попасться и «плохие» числа; в этом случае пугаться не нужно, в ответе можно просто написать логарифм. Например, ответ вполне может выглядеть так: , или даже так: .
Получается, что теперь мы можем мнгновенно записать решение любого элементарного показательного уравнения:
? Легко: .
?
? . И так далее.
Но увлекаться и халтурить тоже не стоит – если в ответе оставить , высший балл за задачу не поставят. То есть, если ответ возможно упростить и представить в виде рационального числа, это обязательно нужно будет сделать. Потренируйся на следующих простых примерах:
Примеры для самостоятельной работы
Ответы на примеры для самостоятельной работы:
- ;
- , но никак не представить в виде степени четверки. Поэтому все просто: ;
- ;
- . Как и в примере 2, здесь придумать степень не получится, поэтому ;
- ;
- . Очевидно, и здесь степень придумать не удастся: .
Кстати, ответы типа или можно упростить – сделать числа поменьше. Как это сделать, и зачем – об этом чуть позже, в разделе «Свойства логарифмов».
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).
Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:
То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .
Почему так?
Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.
Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).
При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.
Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.
Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).
В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:
Решим уравнение .
Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .
Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .
Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?
— верно.
– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».
Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:
Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.
Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):
Найдите корень уравнения . Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.
Решение:
.
В первую очередь напишем ОДЗ:
Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание , чтобы получить аргумент ? Во вторую. То есть:
Казалось бы, меньший корень равен . Но это не так: согласно ОДЗ корень – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .
Ответ: .
Основное логарифмическое тождество
Вспомним определение логарифма в общем виде:
Подставим во второе равенство вместо логарифм:
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Хотя по сути это равенство – просто по-другому записанное определение логарифма:
– это степень, в которую нужно возвести , чтобы получить .
Например:
Реши еще следующие примеры:
Пример 2.
Найдите значение выражения .
Решение:
Вспомним правило из раздела «Степень и ее свойства»: , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:
.
Пример 3.
Докажите, что .
Решение:
, ч.т.д.
Свойства логарифмов
К сожалению, задачи не всегда такие простые – зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов. Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.
Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.
А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.
Свойство 1:
Доказательство:
Пусть , тогда .
Имеем: , ч.т.д.
Свойство 2: Сумма логарифмов
Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .
Доказательство:
Пусть , тогда . Пусть , тогда .
Имеем:
, ч.т.д.
Пример: Найдите значение выражения: .
Решение: .
Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот – «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно ?
.
Теперь очевидно, что .
Теперь упрости сам:
Задачи:
- .
- .
- .
- .
Ответы:
1.
2.
3.
4.
Свойство 3: Разность логарифмов:
Доказательство:
Все точно так же, как и в пункте 2:
Пусть , тогда .
Пусть , тогда . Имеем:
, ч.т.д.
, ч.т.д.
Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:
Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?
Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению – такое сразу не упростить.
Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!
Это – формулы сокращенного умножения. Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.
Нажми на ссылку «Формулы сокращенного умножения», и внимательно на них посмотри. Какую из них можно применить здесь?
Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов:
.
Дальше все просто – применяем только что выученные правила 2 и 3. Что получилось?
Ответ для проверки:
Упрости сам.
Примеры
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:
Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть , тогда . Имеем: , ч.т.д.
Можно понять это правило так:
То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.
Пример: Найдите значение выражения .
Решение: .
Реши сам:
Примеры:
Ответы:
1. .
2. .
3.
Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:
Доказательство: Пусть , тогда .
Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!
Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:
Или если степени одинаковые: .
Свойство 7: Переход к новому основанию:
Доказательство: Пусть , тогда .
Имеем: , ч.т.д.
Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:
Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить , получим: , ч.т.д.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 4.
Найдите значение выражения .
Решение:
Используем свойство логарифмов № 2 – сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
.
Пример 5.
Найдите значение выражения .
Решение:
Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:
.
Пример 6.
Найдите значение выражения .
Решение:
Используем свойство № 7 – перейдем к основанию 2:
Пример 7.
Найдите значение выражения .
Решение:
Как тебе статья?
Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.
И это круто!
А теперь расскажи нам как тебе статья?
Научился ты решать логарифмы? Если нет, то в чем проблема?
Пиши нам в комментах ниже.
Мы будем рады прочитать.
И, да, удачи на экзаменах.
На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.